I Médiatrices

1 ) Médiatrice d'un segment

On appele médiatrice d'un segment la perpendiculaire à ce segment en son milieu.

2 ) Propriété er réciproque

Donnés : J est un point du la médiatrice.

Conséquences : JA = JB

 

Propriété : Si un point est situé sur la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant de ses extremités.

 

Donnés : AB = AC

Conséquences : A est un point de la médiatrice de [ BE ]

Réciproque : Si un pint est équidistant des extremintés d'un segment, alors il est situé sur sa médiatrice

 

3 ) Construction

 

Materiel requis :

Compas

Régle non graduée pour tracer le segment

 

 

4 ) Organigramme logique

Démonstration rédigée :

1. O est situé sur la médiatrice du segment [AB] donc O est équidistant de A et de B et OA = OB ( De même, O est sur la médiatrice de [ BC ] et OB = OC )
2. OA = OB et OB = OC donc OA et OC sont tous les deux égaux à OB et OA = OC
3. OA = OC c'est à dire O est équidistant de A et de C donc O est sur la médiatrice de [ AC ]

   Ce raisonnement prouve et démontre que les 3 médiatrices des 3 côtes d'un triangle sont concourantes.

   II Bissectrice

   1 ) Bissectrice d'un angle

   On appele Bissectrice d'un angle une demi-droite qui partage cet angle en 2 moitiés

   2 ) Distance d'un point à une droite

   

On appele distance distance du point A à la droite ( d ) la longueur AH

 

 

 

3 ) Propriété :

 

 

 

Propriété : Si un point est situé sur la biséctrice d'un angle alors il est équidistant se ses côtés ( Si B est sur la bissectrice alors BH = BK )

 

 

 

4 ) Réciproque

Réciproque : Si un point est équidistant des cotés d'un angle alors il est sur sa bissectrice.

5 ) Construction au compas

 

 

Matériel requis :

Une régle non graduée pour tracer l'angle

Un compas

 

 

6 ) Cercles et droites

 

III Hauteurs

On appelle hauteur d'un triangle une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au coté opposé. Il faut noter que les 3 hauteurs d'un triangle sont concourantes : C'est l'orthocentre. Il peut être parfois nessaisaire de prolonger les côtés du triangle ( exemple 2 )

 

IV Médianes

On appelle médiane d'un triangle une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. Il faut noter que les 3 médianes d'un triangle sont concourantes en un point : C'est le centre de gravité du triangle.

 

V Construction avec les médiatrices des côtés d'un triangle

 

Pour des raisons de rapidité le point O n'est pas tout à fait au centre du cercle circonscrit mais il y est dans la réalité

 

 

VI Construction avec les bissectrices des angles d'un triangle