I Racine carrée d'un nombre positif

1 ) Définition

 

 

On connait l'aire d'un carré. On veut retrouver la longueur du côté du carré

L'aire est égale à :	La longueur du côté du carré est :
1	1
4	2
9	3
16	4
64	8
121	11
a²	a
2
3
5
- 1	impossible
a

Soit a un nombre positif.

• La racine de a notée est un nombre positif sont le carré ( )² = a si a > 0
• Le symbole est appelé radical
  a
  a

  a

  a

  a²
  1
  0
  2,25
  • Exemple : = 1 car 1 est un nombre positif et 1² = 1
  • Exemple 2 : = 0 car 0² = 0
  • Exemple 3 : = 1,5 car (1,5)² = 2,25 et 1,5>0
• L' écriture n'as pas de sens si a < 0 ----> - 25 n'as pas de racine carré
• Propriété : = a si a > 0

• Démonstration : Par définition est le nombre positif dont le carré est a² or a est un nombre positif dont le carré est a² donc = a
  a²

  2 ) Equation de la forme x² = a ou a est un nombre positif

• Résoudre l'équation x² = 4
• Une solution de cette équation est 2 car 2² = 4
• Une autre solution de cette équation est -2 car ( -2 )² = 4
• Pour savoir si cette équation n'a pas d'autres solution, on va factoriser x² - 4, puis résoudre l'équation x² - 4 = 0 :
• x² = 4
• x² - 4 = 0 ( on a transposé tous les termes dans le premier membre )
• x² - 2² = 0
• ( x - 2 )( x + 2 ) = 0 ( on a factorisé le premier membre à l'aide de l'égalité remarquable a² - b² = ( a - b ) ( a + b ) )
• x - 2 = 0 ou x + 2 = 0 ( on a utilisé la propriété suivante : Si un produit est nul alors l'un au moins de ses facteurs est nul )
• x = 2 ou x = -2
• Conclusion : l'équation x² = 4 a exactement 2 solutions : 2 et -2

   

• Propriété :
• Si a > 0 alors l'équation x² = a a exactement 2 solution qui sont x = et x = -
• Si a = 0 alors l'équation x² = 0
  a
  a
• Si a < 0 alors l'équation x² = a n'as pas de solutions

• Exemple : l'équation x² = 5 a 2 solutions qui sont et -
• x² - 5 =0
• x² - ( )²
• ( x + ) ( x + ) = 0
• x - = 0 ou x + = 0
• x = ou x = -

3 ) Avec la calculatrice

• = 4,8 : 4,8 est la valeur exacte de car ( 4,8 )² = 23,04 et 4,8 > 0
• 1,414213562 est une valeur approchée de car ( 1,414213562 )² n'est pas égal = 0

  II Produit et quotient de 2 radicaux

  1 ) Produit de 2 radicaux

  a	b			ab		x
  4	9	2	3	36	6	6
  25	121	5	11	3025	55	55
  9	16	3	4	144	12	12
  0,25	400	0,5	20	100	10	10
  1,21	64	1,1	8	77,44	8,8	8,8
  0,64	0,01	0,8	0,1	0,0064	0,08	0,08

  Quel remarque peut-on faire ? Il me semble que : = x

  COURS INCOMPLET DEMANDER MME MESLY

• Conclusion : Le produit des racines carrés de 2 nombres positifs est égal à la racine carré du produit

  2 ) Quotient de 2 radicaux

  a	b			a÷b		÷
  81	100	9	10	0,81	0,9	0,9
  25	10 000	5	100	0,0025	0,05	0,05
  169	676	16	26	0,25	0,5	0,5
  409 600	64	640	8	6400	80	80
  2401	1125	49	35	1,96	1,4	1,4

  Conjecture : = ÷ si a > 0 / b > 0

• Démonstration :
• Soi a > 0
• est le nombre positif dont le carré est a ÷ b
• ÷ est positif car c'est le quotient de 2 nombres positifs
• ( ÷)² = ² ÷² = a ÷ b
• donc = ÷